Алексей Курбанов родился в Великом Новгороде. Обучался в музыкальной школе им. С.В. Рахманинова, в 1995 г. окончил с отличием Петербургскую консерваторию по двум специальностям — орган и композиция. В 1999 г. окончил аспирантуру Петербургской консерватории, защитил кандидатскую диссертацию на тему «Развитие органной музыки в 60-е— 90 -е годы ХХ века».
С 1984 г. Курбанов ведет концертную деятельность как пианист, органист и клавесинист, выступал с интерпретацией редкозвучащей, в том числе, современной музыки. Участник и лауреат различных конкурсов и фестивалей. Автор более 170 сочинений для фортепиано, органа, хора, камерных ансамблей. С апреля 2000 года живет и работает в городе Ауре (Норвегия).